Lec04 Tree

一、基本概念

(1)树的定义：树是一个n个节点的有限集。

1. 树的根结点没有前驱，除根结点外的所有结点有且只有一个前驱。
2. 树中所有结点可以有零个或多个后继。
3. n个节点的树中有n-1条边

(2)基本术语

1. 度：结点的度为孩子个数；树的度为结点最大度
2. 深度：结点的深度为从根结点开始向下累加
3. 高度：结点的高度为从叶结点开始向上累加
4. 层次：从根结点开始定义，根为第一层；树的深度与高度都为层次的最大值

(3)性质

1. 树中的结点数等于所有结点的度数加1.
2. 度为m的树中第i层上至多有\(m^{i-1}\)个结点（i > = 1）

二、二叉树

(1)二叉树的定义：

1. 每个结点至多只有两棵子树( 即二叉树中不存在度大于2的结点)
2. 并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒

(2)特殊二叉树

1. 斜树
2. 满二叉树：高度为h，结点数为\(2^h -1\),除叶节点外的每个结点的度数都为2.
    约定根节点的编号为1，那么，对于一个有双亲的结点i，它的双亲为i/2,若有左孩，为2i，若有右孩，为2i+1.  
3. 完全二叉树 4. 二叉排序树

(3)二叉树的特殊性质

1. 非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1，即\(n_o = n_2 + 1\)
2. 非空二叉树上第k层上至多有\(2^{k-1}\)个结点。
3. 高度为h的二叉树至多有\(2^h-1\)个结点。
4. 对完全二叉树，对每个结点，除了编号的性质，也有层数的性质：编号为i的结点所在的层数为\(log_2 i+1\),那么具有n个结点的完全二叉树的高度为\(log_2 n+1\).

(4)二叉树的储存结构

1. 顺序储存结构：编号为i的结点存在一维数组下标为i-1的分量中，空的位置用0代替。比较适合 完全二叉树和满二叉树。
2. 链式储存结构：每一个结点都含有data，left，right。

typedef struct BiTNode{
    TElemType data; //结点数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    //左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

三、遍历二叉树

(1)先序遍历

(2)中序遍历

(3)后序遍历

(4)非递归算法

void iter_inorder(Tree T)
{
    stack s;
    while(1)
    {
        for(;T;T=T.left){
            push(T,s);
        }
        T=top(s);
        pop(s);;

        if(T=NULL) break;
        print(T.data);
        T=T.right;
    }   
}

(5)层次遍历：运用队列

1）根结点入队
2）重复：出队，访问出队结点，并将左孩与右孩顺序入队。

(6)由遍历序列构造二叉树

1. 先序+中序
2. 后序+中序
3. 层序+中序

四、线索二叉树

(1)概念与结构

(2)二叉树的线索化

实质就是在遍历二叉树的时候修改空指针。也可以通过创造head，让它的lchild指向二叉树的根结点，rchild指向中序遍历访问到的最后一个结点。

五、二叉排序树

(1)性质

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它根结点的值。
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它根结点的值。
3. 它的左、右树又分为⼆叉排序树

(2)作用--中序遍历，可以得到排序

(3)查找--对分查找的思想

(4)二叉排序树的删除

1. 删除叶节点    
2. 删除的根节点，但仅有一个孩子---互换
3. 删除的根节点，且有两个孩子---用最左边的最大值/右边的最小值进行替换。

六、树与二叉树的转化

七、题目

1. There exists a binary tree with 2016 nodes in total, and with 16 nodes having only one child.错误

2. 

3.