Lec07 Graph¶

一、图的概念¶

有向图
无向图
简单图：不存在重复边，不存在顶点到自身的边
多重图：某两个结点之间的边数多于一条，允许与自己连
完全图：简单图的特例，每两个结点均相连
子图
连通、连通图、连通分量
强连通：v到w与w到v均有路径
强连通图、强连通分量
生成树与生成森林

度
权
网：带权图
稠密图、稀疏图
路径、路径长度、回路
简单路径、简单回路：顶点不重复出现
距离：u到v的最短路径若存在，则为u到v的距离，否则距离为无穷
有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点出度均为1

二、图的存储结构¶

1.邻接矩阵¶

利用一个二维数组来存储，查询行列即可。

2.邻接表¶

每一个结点u指向的结点vi，依附于一个开头为u的单链表

#来自pta的一个邻接表模型
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    Vertex AdjV;
    PtrToAdjVNode Next;
};

typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;
} AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;
    int Ne;
    AdjList G;
};
typedef PtrToGNode LGraph;

3.邻接多重表¶

多用于无向图每一个顶点用一个结点表示

\[data| firstedge\]

每一个边也用一个结点表示

\[ivex|ilink|jvex|jlink\]

解释：其中ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中下标。ilink 指向依附顶点ivex的下一条边，jlink 指向依附顶点jvex的下一条边。

三、拓扑排序¶

有向无环图一定是拓扑序列拓扑排序就是只有从前指向后的边，没有从后指向前的边，如果是一个有向无环图，那么一定有一个点的入度为0。

1.排序思路¶

如果有入度为0的点，那么入队，将队列里的点依次出列，找到所有与这个点相邻的点，删除这条边（入度-1），如果所有都入队，那么是一个拓扑排序。

2.代码实现¶

四、最短路问题¶

基本的思路：

在未访问的顶点中，寻找一个和目标距离最短的顶点V
如果没有找到，就停止，如果找到了，将V标记位已访问
对所有和V相邻的节点W，更新最多路径距离的值

五、Network Flow Problems最大流问题¶

最大流问题，决定最大能入多少管道

A Simple Algorithm¶

三幅图原图-流图-残差图
augmenting path 增长通路选定一条路径，取最大的流量，在流图上添加流量，在残差图上进行做差，如果残差图中为0那么删除

To Be Greedy 如果先选最大路径¶

我们需要做的操作：支持撤回并需要画反向边这个算法在G中有环依旧可行

Analysis¶

T = $O( f |E|)$ where f is the maximum flow. $$ T = T_{augmentation} * T_{find a path}$$ $$ = O( |E| log_{capmax} ) * O( |E| log |V| )$$ $$ = O( |E|^2 log |V| ) $$

六、Minimum Spanning Tree最小生成树¶

概念¶

生成树¶

【Definition】 A spanning tree of a graph G is a tree which consists of V( G ) and a subset of E( G ) 这说明顶点和边都为原图中存在的

一些性质

如果存在spanning tree 那原图一定是联通的
spanning tree不唯一
仅有n-1条边，这是树的性质。
无环

最小生成树MST¶

生成树中权重和最小的一个，也有可能是不唯一的

算法¶

Prim’s Algorithm¶

类似于求最小路

Kruskal’s Algorithm¶

使用堆，把每个权重丢进去
每次取最小；
判断是否形成cycle，如果不是就加进去，如果是就丢掉这条边

判断是否是cycle的时候必须要使用并查集

void Kruskal ( Graph G )
{   
    T = { } ;
    while  ( T contains less than |V| -1 edges && E is not empty ) 
    {
        choose a least cost edge (v, w) from E ;
        delete (v, w) from E ;
        if  ( (v, w) does not create a cycle in T )    
          add (v, w) to T ;// Union / Find
        else    
          discard (v, w) ;
    }
    if  ( T contains fewer than |V| -1 edges )
        Error ( “No spanning tree” ) ;
}

七、DFS深度优先遍历¶

深度优先遍历算法

无向图找联通单元¶

void ListComponents ( Graph G )
{   for ( each V in G )
        if ( !visited[ V ] ) {
            DFS( V );
            printf(“\n“);
        }
}

双联通性¶

Articulation point关节点

定义¶

v is an articulation point if G’ = DeleteVertex(G, v) has at least 2 connected components.
G is a biconnected graph if G is connected and has no articulation points.
A biconnected component is a maximal biconnected subgraph.