5-大数定律和中心极限定理

一、大数定律¶

1.随机变量序列依概率收敛的定义及性质¶

a.定义¶

切比雪夫不等式

其含义是 “$Y_n$ 对Y的绝对偏差不小于任何一个给定量”的可能性随n的增大而越来越小；或者绝对偏差 $|Y_n-Y|$ 小于任何一个给定量的可能性随n的增大时而越来越接近于1。

b.性质¶

强调一个嵌套函数的连续性。

2.马尔可夫不等式（不考）与切比雪夫不等式¶

马尔可夫不等式¶

主要讲的是随机变量序列与k阶矩的关系，不在考试范围。

切比雪夫不等式¶

切比雪夫不等式

设随机变量有数学期望 $E(X)=\mu，Var(X)=\sigma^2,$则对任意 $\epsilon>0$都有

\[P\{|X-\mu|\geq \epsilon\}\leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \quad or\quad P\{|X-\mu|< \epsilon\}\geq 1- \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}\]

3.常见的大数定律¶

结论都基本一样，都是说的随机变量序列的算数平均依概率收敛到一个稳定值

一般的大数定律¶

贝努里大数定律¶

伯努利大数定律主要说明了大量重复试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有其意义。

辛钦大数定律¶

还有以下推论，主要是对连续函数的嵌套效果

切比雪夫大数定律与马尔可夫大数定律¶

大数定律的描述（仅作了解）切比雪夫大数定律特殊情况的应用（需要掌握）

切比雪夫大数定律与辛钦大数定律的区别

切比雪夫大数定律的条件：独立+期望、方差相同
辛钦大数定律：独立+同分布

二、中心极限定理¶

只需要掌握【独立同分布的中心极限定理】和推论【德莫佛-拉普拉斯定理】

1.独立同分布的中心极限定理¶

设随机变量$X_1,X_2,...X_n,...$相互独立且同分布，$E(X_i)=\mu,Var(X_i)=\sigma^2$,那么对于充分大的n，有 $$ \sum X_i \sim N(n\mu,n\sigma^2)，也可以写\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) $$

2.德莫佛拉普拉斯定理¶

主要说的是，当n很大的时候，二项分布可以用正态分布去近似（期望与方差不变）直接记：

\[n_A \sim N(np,np(1-p))\]