6-数理统计的基本概念¶
·总体：研究对象的全体。
·个体：组成总体的每个元素。
总体是某一数量指标的全体，是具有确定分布的随机变量。
·抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。
·随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量
·简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称为简单随机样本
- 代表性：每个Xi与X同分布
- 独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量
·若总体有分布函数\(F(x)\)，则样本具有联合分布函数\(F_n(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^n F(x_i)\)
·若总体为连续型（或离散型）随机变量，其概率密度函数（或分布律）为\(f(x)\)，则样本具有联合密度函数（或联合分布律） \(f_n(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^nf(x_i)\)
一、统计量¶
定义¶
统计量：不含任何未知参数的样本的函数。
- 统计量仍为随机变量
- 统计量的分布（抽样分布）一般与总体分布有关，可以依赖于未知参数
常用的统计量¶
样本均值，样本方差的性质
- 对总体X，若E(X)=\(\mu\)，Var(X)=\(\sigma^2\),那么
\[E(\overline{\text{X}})=\mu，Var(\overline{\text{X}})=\frac{\sigma^2}{n}，,E(S^2)=\sigma^2\]
\(S^2\)的方差？
-
\[Var(S^2)=\frac{2\sigma^4}{(n-1)}\]
\(S^2\) 另一种表现方式
- 样本方差平方项展开后可以化简为
\[
S^2=\frac{1}{n-1}(\sum X_i^2-n\overline{X}^2)
\]
二、三大抽样分布¶
对三大分布，主要掌握
- 定义
- 密度图像（密度函数可以不记）——用于求上 \(\alpha\) 分位数
- 相关的性质
1.\(\chi^2\)分布¶
(1)定义¶
(2)密度图像¶
(3)性质¶
- 具有可加性，但要求相互独立
- \(E(X)=n\),\(Var(X)=2n\)
- 上 \(\alpha\) 分位数性质: n>40时，可以做以下近似： \(\chi^2_\alpha(n)=\frac{1}{2} (2\alpha +\sqrt{2n-1})^2\)
2.t分布¶
(1)定义¶
(2)密度图像¶
注意t分布服从的参数n与“尾巴”长短的关系：一般来说n越大，整个t分布越“瘦”，尾巴越“塌下来”
(3)性质¶
3.F分布¶
(1)定义¶
(2)密度图像¶
(3)性质¶
4.\(\alpha\)分位数总结¶
对正态分布：
\[
\begin{cases}
z_{1-\alpha}=z_{\alpha}\\
z_{0.5}=0
\end{cases}
\]
对 \(\chi^2\)分布： 一般来说是查表，但n>40时，可以做以下近似： \(\chi^2_\alpha(n)=\frac{1}{2} (2\alpha +\sqrt{2n-1})^2\)
对t分布：
\[
\begin{cases}
t_{0.5}(n)=0\\
t_{1-\alpha}(n)=t_{\alpha}(n)\\
n>45时，可做近似：t_{\alpha}(n)=z_{\alpha}
\end{cases}
\]
对F分布：
\[\begin{cases}
(t_{\alpha/2}(n))^2=F_\alpha(1,n)\\
F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}——三变法则
\end{cases}\]
三、正态总体下的抽样分布¶
1.关于单变量的四个性质¶
如果x服从正态分布
那么
\[(1)\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]
\[(2)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\]
\[(3)\frac{\overline{X}-\mu}{S\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]
同时， (4)\(\overline{X}\)与 \(S^2\)独立。
2.多变量¶
四、拓展以下分布¶
可做一定推导练习，记牢定义
