8-假设检验

不考范围：估计均值（两个正态方差不等）的假设检验

8.6 列联表的独立性检验

一、假设检验的基本思路¶

1.概念¶

(1)假设¶

先对总体参数、分布形式等作出某种假设, 然后利用样本信息来判断该假设是否合理。

我们建立两个观点，一个作为原假设（零假设）H0，一个作为备择假设（对立假设）H1

H0与H1的关系

H0和H1一定不相容，但不一定互补.
H0是不容易被否定的，对于一定的立场下不可以互换。
通常来说，通过样本提出的疑问对应的观点经常被列为H1

参数假设检验和非参数假设检验之分

参数假设是指对总体分布中的未知参数作假设，除此之外其他的假设均为非参数假设
对于参数检验假设，分为简单假设（假设空间为单元素集）和复杂假设

(2)检验¶

检验就是给出一个规则，由这个规则我们最终判断是否接受H0

这个规则的划分用到的统计量就是检验统计量

拒绝域和接受域的定义，临界点的定义

(3)两类错误¶

弃真/取伪弃真概率 $\alpha(\theta)$,取伪概率 $\beta(\theta)$

两类错误概率之间的关系

当n固定的时候，α越大，β越小

(4)显著性水平为α的检验¶

拒绝H0，表明检验的效果是显著的

2.假设检验的步骤¶

(1)建立假设¶

建立H0和H1，我们的任务就是通过样本来做出“保留H0”还是“拒绝H0”的推断

(2)构造检验统计量¶

先假定H0为真，然后利用样本判断其真伪由于样本所含的信息分散，所以要构造统计量来进行判断，即检验估计量

(3)确定拒绝域和接受域¶

(4)根据给定的显著性水平来确定临界点¶

我们用显著性水平 $\alpha$ 来衡量我们做"H0是否为真“的判断时犯错误的概率，要求这个概率为

\[ P(H_0被拒绝|H_0为真)\leq \alpha \]

通常我们确定临界点的时候，使等号取等。

(5)做判断¶

样本落入拒绝域，则拒绝；落入接受域，则接受

二、正态分布总体下参数的假设检验¶

注意！！！！

下方所写的 ~ 都是建立在H0为真的情况下，考试的时候要在波浪线上方多写一个H0为真

1.单个正态总体¶

(1)检验μ¶

若$\sigma^2 已知:Z检验法$

检验统计量用

\[ Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim^{H0为真} N(0,1) \]

找到什么时候，Z满足拒绝域的条件（H1的条件），注意检验不等的时候要用等尾处理

若$\sigma^2 未知:$t检验法

检验统计量用

\[ t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim^{H0为真} t(n-1) \]

确定检验规则的方法同上，最后结果三条

\[ \begin{cases} t\leq -t_\alpha(n-1)\\ t\geq t_\alpha(n-1)\\ |t|\geq t_{\alpha/2}(n-1) \end{cases} \]

(2)正态总体方差的假设检验(已知 $\sigma_0$ )¶

若已知 $\mu$，用 $\chi^2$检验

取检验统计量

\[ \chi^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim^{H0为真} \chi^2(n) \]

确定检验规则的方法同上，最后结果三条

\[ \begin{cases} \chi^2\leq \chi^2_{1-\alpha}(n)\\ \chi^2\geq \chi^2_{\alpha}(n))\\ \chi^2 \geq \chi^2_{\alpha/2}(n) \quad or\quad \chi^2 \leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n) \end{cases} \]

若未知 $\mu$，也是用 $\chi^2$检验，但是自由度变化了

因为取的检验统计量为

\[ \chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim^{H0为真} \chi^2(n-1) \]

确定检验规则的方法同上，最后结果三条

\[ \begin{cases} \chi^2\leq \chi^2_{1-\alpha}(n-1)\\ \chi^2\geq \chi^2_{\alpha}(n-1)\\ \chi^2 \geq \chi^2_{\alpha/2}(n-1) \quad or\quad \chi^2 \leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \end{cases} \]

2.两个正态总体¶

两个正态整体来自 $N(\mu_1,\sigma^2_2)$,$N(\mu_1,\sigma^2_2)$,分别取了n1和n2个

(1)检验 $\mu_1-\mu_2与\delta$的关系¶

$\sigma^2_X和\sigma^2_Y$已知，令 $\mu_1-\mu_2=\delta$

注意到 $\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\sigma^2_1/n_1+\sigma^2_2/n_2)$

我们可取

\[Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma^2_1/n_1+\sigma^2_2/n_2}}\sim^{H0为真} N(0,1)\]

三类拒绝域：

\[ \begin{cases} z\leq -z_\alpha\\ z\geq z_\alpha\\ |z|\geq z_{\alpha/2} \end{cases} \]

$\sigma^2_X和\sigma^2_Y$未知时，只考$\sigma^2_X=\sigma^2_Y=\sigma^2$

取检验统计量

$$ t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim^{H0为真} t(n_1+n_2-2) $$ 这里 $S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$

三类拒绝域

\[ \begin{cases} t\leq -t_\alpha(n_1+n_2-2)\\ t\geq t_\alpha(n_1+n_2-2)\\ |t|\geq t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \end{cases} \]

(2)比较 $\sigma_1^2与\sigma_2^2$¶

$\mu_1和\mu_2$未知

取检验统计量

\[F=\frac{\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2_1}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2_2}/(n_2-1)}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim^{H0为真} F(n_1-1,n_2-1)\]

三类拒绝域

\[ \begin{cases} F\leq F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)\\ F\geq F_\alpha(n_1-1,n_2-1)\\ F\geq F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\quad or \quad F\leq F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) \end{cases} \]

$\mu_1和\mu_2$已知

取检验统计量

\[F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2/n_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(Y_i-\mu_2)^2/n_2}\sim^{H0为真} F(n_1,n_2)\]

三类拒绝域

\[ \begin{cases} F\leq F_{1-\alpha}(n_1,n_2)\\ F\geq F_\alpha(n_1,n_2)\\ F\geq F_{\alpha/2}(n_1,n_2)\quad or \quad F\leq F_{1-\alpha/2}(n_1,n_2) \end{cases} \]

汇总

三、P值¶

对于同一个样本组进行分析，不同的显著性水平 $\alpha$ 可能会得到不同的结论，引入p值来与 $\alpha$ 进行更直观的比较。

P值的定义

当原假设成立时，检验统计量取比观察到的结果更极端的的数值的概率。
如果 $p\leq \alpha$那么在显著性水平 $\alpha$下拒绝H0
如果 $p\geq \alpha$那么在显著性水平 $\alpha$下保留H0

对上述四类单个正态总体的P值总结如下:

若$\sigma^2 已知:Z检验法$

检验统计量用

\[ Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim^{H0为真} N(0,1) \]

若$\sigma^2 未知:$t检验法

检验统计量用

\[ t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim^{H0为真} t(n-1) \]

若已知 $\mu$，用 $\chi^2$检验

取检验统计量

\[ \chi^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim^{H0为真} \chi^2(n) \]

\[ \begin{cases} 2P\{\chi^2(n)\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \} \quad or \quad 2P\{\chi^2(n)\geq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \} \\ P\{\chi^2(n)\geq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \} \\ P\{\chi^2(n)\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \} \end{cases} \]

若未知 $\mu$，也是用 $\chi^2$检验，但是自由度变化了

因为取的检验统计量为

\[\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim^{H0为真} \chi^2(n-1)\]

四、假设检验与区间估计¶

对于置信度 $1-\alpha$，显著性水平 $\alpha$，一般来说置信区间里的都是接受域，置信区间外的都是拒绝域

五、拟合优度检验¶

实际问题中需要我们直接对总体分布做出一个假设。

1.皮尔逊拟合优度 $\chi^2$ 检验¶

原理¶

从总体中取得样本容量为n的样本，将其分成k个两两不相交的子集A1...Ak，$要检验的是 $H_0：P(A_i)=p_i,i=1,2,...k$
用 $n_i$ 记录样本值 $x_i$ 落在 $A_i$的个数，则在n次实验中$A_i$发生的频率为$\frac{n_i}{n}$
如果原假设H0成立，那么实测频数 $n_i$与理论频数 $np_i$相差不大
引入 $\chi^2=\sum^{k}_{i=1}\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}$
有定理：·若原假设成立，那么 $\chi^2$渐进服从于自由度k-1的 $\chi^2$分布
拒绝域 $W=\{ \chi^2 \geq C \}$, $C=\chi^2_\alpha(k-1)$
或者用P值 $P\_=P\{\chi^2(k-1)\geq \chi^2 观测值 \}$是否大于显著性水平
如果式子中存在未知的参数，用样本求出该参数的极大似然估计作为参数值。
如果原假设中有r个未知参数，那么对应的自由度还要-r

8-假设检验

一、假设检验的基本思路¶

1.概念¶

(1)假设¶

(2)检验¶

(3)两类错误¶

(4)显著性水平为α的检验¶

2.假设检验的步骤¶

(1)建立假设¶

(2)构造检验统计量¶

(3)确定拒绝域和接受域¶

(4)根据给定的显著性水平来确定临界点¶

(5)做判断¶

二、正态分布总体下参数的假设检验¶

1.单个正态总体¶

(1)检验μ¶

(2)正态总体方差的假设检验(已知 \(\sigma_0\) )¶

2.两个正态总体¶

(1)检验 \(\mu_1-\mu_2与\delta\)的关系¶

(2)比较 \(\sigma_1^2与\sigma_2^2\)¶

三、P值¶

四、假设检验与区间估计¶

五、拟合优度检验¶

1.皮尔逊拟合优度 \(\chi^2\) 检验¶

原理¶