1_码制和逻辑代数

一、数制与码制¶

1.二进制算数运算¶

2.常用编码¶

8421 BCD: 将每一位十进制数字都用普通4位二进制表示
2421 BCD: 将每一位十进制数字都用2，4，2，1的权重展开，0＝0000 1＝0001 2＝0010 3＝0011 4＝0100 5＝1011 6＝1100 7＝1101 8＝1110 9＝1111。2421码的禁止码是0101、0110、0111、1000、1001、1010。这使得2421具有一个特点：和为9的数互为反码，便于减法（便于对9求补）
余3码: 每一位数字相当于8421码加上0011 使得余3码有一个特点：和为9的数互为反码，便于减法
格雷码：: 相邻码组仅有一位状态不同 1. 二进制转格雷码：最高位不变，低位为高位二进制和本位二进制异或 2. 格雷码转二进制：最高位不变，低位为本位格雷码和高位二进制异或
余3循环码: 余三循环码就是余三码通过格雷码的异或运算，所得到的一系列变权码。

3.二进制的补码运算¶

为什么要用二进制补码相加？

不仅电路结构简单，而且运算可以一步完成。

解题步骤：

将两个带符号的数的绝对值相加，判断需要几位补码。
将两个数写成补码的形式
将这两个补码按二进制加法相加，得到补码形式的和。
- 和的形式仍为补码
符号位和来自于数值部分的进位相加，结果就是和的符号位。

二、逻辑代数基础¶

1.逻辑代数公式、定理¶

公式¶

\[ \begin{align} A+B\cdot C&=(A+B)\cdot(A+C)\\ A+A\cdot B&=A\\ A+\overline{A}\cdot B&=A+B\\ A\cdot (\overline{A}+B)&=A\cdot B\\ A\cdot B+\overline{A}\cdot C+B\cdot C&=A\cdot B+\overline{A}\cdot C\\ (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)&=(A+B)(\overline{A}+C) \end{align} \]

基本定理¶

（1）代入定理：在任何一个包含变量 \(A\) 的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有 \(A\) 的位置，则等式仍然成立。

（2）反演定理：取反时，与或互换，0 1互换，原反互换，由外而内。

2.逻辑函数描述方法¶

真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图

3.逻辑函数标准形式¶

最小项: \(Y(A,B,C,D)=\sum m(m_1,m_2,\dots,m_n)\) \(m\) 为乘积项所有最小项之和为 1 ，任意两个最小项之积为 0
最大项: \(Y(A,B,C,D)=\prod M(M_1,M_2,\dots,M_n)\) \(M\) 为和项所有最大项之积为 0 ，任意两个最大项之和为 1
最小项与最大项的关系: \(\sum m_i=\prod M_k\qquad i\neq k\) 即互为对偶式

逻辑式的变换¶

与或，使用卡诺图进行化简
与非，由与或进行两次求反
与或非，使用卡诺图对0求和，再求反
或与，展开“与或非”
或非，将“与或非”内部化为或非形式
转化为最小项：乘(A+A')
转化为最大项：加(A+A')

4.逻辑函数的化简¶

公式
卡诺图
具有无关项的逻辑函数化简

约束项、任意项和无关项？

约束项：逻辑函数工作过程中，约束项的值永远是0，即取值情况永远不会取到约束项相关的情况。

任意项：在某些变量的取值情况下，逻辑函数值等于1还是等于0，对电路的逻辑功能都没有影响，在这些变量取值情况下等于1的那些最小项，就是任意项。 - 在化简时，可写可不写。

无关项：上述二者都是无关项，但是二者有区别：约束项永远是0，所以逻辑函数中无论是有还是没有约束项，结果都一样；任意项会存在1的情况，在逻辑表达式中写入任意项后，任意项为1时，函数输出也为，如果拿掉任意项，任意项为1时，函数值为0.