1_波与矢量分析
1.电磁场的基本概念公式¶
2.电磁波谱¶
可见光(380THz-770THz)
光波(100THz-1000THz)
其中：
- 场波可以沿地球的弯曲表面传播到很远---地波
- 短波可以借助60km-300km的高空电离层折射返回地面---天波
- 超短波、微波、光波可以穿过电离层到达外层空间---空间波；较常使用微波。但有用传输距离有限的问题，解决方法是建立中继站，如果把中继站建立在人造地球卫星上，通信距离就很大，3颗同步卫星就可覆盖全球大部分面积
3.波的基本特征及复表示¶
波动的基本特征¶
- 运动的波带有能量
- 波从一点到另外一点有时间延迟
- 某些波（如声波与电磁波）具有线性特征
波分为瞬态波和随时间简谐变化的连续波之分。后者的数学表达式（沿+z方向传播）为
\[
A(z,t)=A_0cos(\omega t-kz+\varphi_0)
\]
k被称为波的传播常数，也叫空间频率，特殊记忆的有
\[
k\lambda=2\pi
\]
波等相位点传播的速度
\[
v=\frac{\omega}{k}
\]
时谐标量波的复数表示¶
设随时间变化的电压值 \(u(z,t)\) 可以表示为
\[
u(z,t)=U_0cos(\omega t-kz+\varphi_{0u})=U_0cos[\omega t +\varphi_u(z)]
\]
这里，我们记 \(\varphi_u(z)=-kz+\varphi_{0u}\)
同时，定义相量U
\[
U=U_0e^{j\varphi_u(z)}
\]
于是，原幅值
\[
u(z,t)=Re[Ue^{j\omega t}]
\]
为了简化记号，我们记
\[
u(z,t)\leftrightarrow U
\]
回忆拉普拉斯变换，我们得到了
\[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}u(z,t)& \leftrightarrow j\omega U\\
\int u(z,t) dt& \leftrightarrow \frac{U}{jw}
\end {align}
\]
时谐变量的时间平均值总是等于0的。
\[
<u(t)>=\frac{1}{T}\int_0^TU_0cos(\omega t +\varphi_u)dt=0
\]
但是两个时谐标量的乘积的平均值不一定总是为0
例如：对于 \(U_0cos(\omega t +\varphi_u)\)，\(I_0cos(\omega t +\varphi_i)\)
\[
<u(t)i(t)>=\frac{1}{T}\int_0^TU_0cos(\omega t +\varphi_u)I_0cos(\omega t +\varphi_i)=\frac{1}{2}U_0I_0cos (\varphi_u-\varphi_i)
\]
由此，
\[
<u(t)i(t)>=\frac{1}{2}Re[UI^*]
\]
时谐标量波的“复矢量”表示¶
4.矢量分析与场论¶
标积、矢积、并矢¶
梯度、散度、旋度、方向导数¶
- 梯度
- 梯度是一个向量，它指出了标量场在某一点处增加最快的方向。标量场\(F(x, y, z)\)的梯度grad f表示为\(\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial F}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial F}{\partial z} \hat{k}\)
- 散度
- 散度是一个标量，它描述了一个矢量场在某一点上的流出或流入程度。 矢量场\(\vec{F}(x, y, z)\)的散度div f表示为\(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
- 旋度
- 旋度是一个矢量，它描述了一个矢量场在某一点上的旋转程度或涡旋情况。 矢量场\(\vec{F}(x, y, z)\)的旋度curl f表示为\(\nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}\)
- 方向导数
- 方向导数是一个标量值，它表示了一个多元函数在某一点沿着某一给定方向的变化率。是梯度在某一方向上的投影。
场论¶
- 通量
- \(\psi=\int_S A\cdot dS\)
\[div \ A =\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\oint_{\Delta S} A\cdot dS}{\Delta V}\]
- 散度定理
-
\[\oint_{\Delta S} A\cdot dS=\int_V(\nabla \cdot A) dV\]
- 拉普拉斯算符
- \(\nabla^2\),当计算梯度的散度时，得到 \(\nabla \cdot \nabla A=\nabla^2A\)
- 旋量
- \(\Gamma=\oint_{\Delta l}A\cdot dl\)
- 环量面密度
-
在场中对于一个点M选取一个方向 \(n_0\) ,并作一微小曲面 \(\Delta S\) ，\(\Delta S\) 的边界为 \(\Delta l\) ，如果极限
\[ \lim_{\Delta S\to M}\frac{\Delta \Gamma}{\Delta S}= \lim_{\Delta S\to M}\frac{\oint_{\Delta l} A\cdot dl}{\Delta S} \]旋度就定义为
\[(curl A)\cdot n_0=\lim_{\Delta S\to M}\frac{\oint_{\Delta l} A\cdot dl}{\Delta S}\]旋度在某一点给定方向的投影就是该方向的环量面密度，当 \(n_0\) 的方向与curl A相同的时候，环量面密度最大。
- 斯托克斯定理
-
\[\oint_{\Delta l} A\cdot dl=\oint_{\Delta S} (\nabla \times A)\cdot dS\]