2_传输线基本理论
一、传输线方程及其解
1.传输线
传输线在电路中相当于一个二端口网络
常用传输线
- 包括平行双导线、同轴线、微带线。其横向尺寸比波长小得多，纵向尺寸比波长大得多，至少与波长可比。
- 电话网用平行双导线，有线电视网都用同轴线，平行平板波导应用丌多，其变形微带线则广泛用于集成电路
2.传输线等效电路
3.传输线方程及其求解
传输线方程：
\[
\begin{align}
\frac{\partial u(z,t)}{\partial z}&=-[R'i(z,t)+L'\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}]\\
\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}&=-[G'u(z,t)+C'\frac{\partial u(z,t)}{\partial z}]\\
\end{align}
\]
无损传输线
推导过程（可展开）
\[
k=\omega\sqrt{L'C'},Z_c=\sqrt{\frac{L'}{C'}}
\]
\[
\begin{align}
U&=U^ie^{-jkz}+U^re^{jkz}
\\
I&=\frac{1}{Z_c}(U^ie^{-jkz}-U^re^{jkz})
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
u(z,t)&=[U^ie^{j(\omega t-kz)}+U^re^{j(\omega t+kz)}]
\\
i(z,t)&=\frac{1}{Z_c}[U^ie^{j(\omega t-kz)}-U^re^{j(\omega t+kz)}]
\end{align}
\]
无耗传输线方程解的初步解释
- k为传播常数。
- 入射波与反射波相速 \(v_p^i=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{k},v_p^r=\frac{dz}{dt}=-\frac{\omega}{k}\)
- 对于无损耗线，\(k=\omega\sqrt{L'C'}\), 故波的传播速度 \(v_p=1/ \sqrt{L'C'}\)
- \(Z_c\) 为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗，\(Y_c=1/Z_c\) 称为特征导纳。
- 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180°
有损耗传输线
R’与G’不再为0，这导致k和Zc将成为复数。
定义
\[
\begin{align}
jk&=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}\\
Z_c&=\sqrt{\frac{R'+j\omega L'}{G'+j\omega C'}}
\end{align}
\]
传输线方程可以写为
\[
\frac{dU(z)}{dz}=-jkZ_cI(z)
\]
\[
\frac{dI(z)}{dz}=-jkY_cU(z)
\]
解为：
\[
\begin{align}
U&=U^ie^{-jkz}+U^re^{jkz}
\\
I&=\frac{1}{Z_c}(U^ie^{-jkz}-U^re^{jkz})
\end{align}
\]
给予k一些物理意义，如果将k记为 \(k=k_r-jk_i\)
得到的解为
\[
\begin{align}
U&=U^ie^{-k_iz}e^{-jk_rz}+U^re^{k_iz}e^{jk_rz}
\\
I&=\frac{1}{Z_c}(U^ie^{-k_iz}e^{-jk_rz}-U^re^{k_iz}e^{jk_rz})
\end{align}
\]
可以看到，如果虚部 \(k_i>0\) 损耗将使得入射波振幅随z衰减，所以 \(k_i\) 被称为波的衰减因子/衰减常数，\(k_r\) 称为相位常数，表示波的传播。
二、传输线状态的特征量沿传输线的变换
上述，我们用电压U/电流I，或者说是电压入射波/电压反射波来描述特征线的状态，接下来，我们用反射系数、阻抗、驻波系数、驻波相位等特征量表述。
1.特征量关系式
推导过程（可展开）
记录三个特征量的方程
2.沿传输线变换的图示
假设以传播系数为k,特征阻抗为Zc为例，在输出终端 \(z=0\) 处接负载 \(Z_L=R_L+jX_L\) ，探索 \(z<0\) 的特征量
反射系数
终端
$$
\Gamma_u(0)=\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}=|\Gamma_u(0)|e^{j\varphi(0)}
$$
其中，
\[|\Gamma_u(0)|<1\]
\[
\varphi(0)=\arctan \frac{2X_LZ_C}{R_L^2+X_L^2-Z_C^2}
\]
根据公式，可以获得\(-l<0\)处的反射系数
\[
\Gamma_u(-l)=\Gamma_u(0)e^{j2k(-l)}=|\Gamma_u(0)|e^{j[\varphi(0)-2kl]}
\]
可见，反射系数的变化只是相角的变化，随着l增加，沿顺时针转，\(l\) 增加 \(\lambda/2\) 时，相位变化重复一次。
电压、电流
\[
\begin{align}
|\frac{U(z=-l)}{U^ie^{jkl}}|=|1+\Gamma_u(z=-l)|\\
|\frac{I(z=-l)}{U^ie^{jkl}/Z_c}|=|1-\Gamma_u(z=-l)|\\
\end{align}
\]
当入射波电压幅值为1时，
\[
\begin{align}
|U(z=-l)|=|1+\Gamma_u(z=-l)|\\
Z_c|I(z=-l)|=|1-\Gamma_u(z=-l)|\\
\end{align}
\]
可以理解为电压、电流的幅值大小在一个圆上旋转。
驻波系数与驻波相位
- 驻波系数VSWR为电压的最大值与最小值之比
$$ \rho=\frac{U_{max}}{U_{min}}= \frac{1+|\Gamma_u|}{1-|\Gamma_u|}$$
- 定义第一个电压腹点为 \(d_{max1}=\frac{\varphi(0)}{2k}\),
第一个电压节点为 \(d_{min1}=d_{max1}+\frac{\lambda}{4}\)
驻波相位为
\(\(\tilde{d}_{min1}=\frac{{d}_{min1}}{\lambda}\)\)
特殊情况的电流电压分布
阻抗（导纳）
\[
Z_{in}=Z_c\frac{Z_L+jZ_c tan\ kl}{Z_c+jZ_L tan\ kl}
\]
- 匹配时，可以得到 \(Z(z)=Z_c\)
- 终端开路，\(Z_L=Z(0)=\infty\) ,\(Z_{in}(z=-l)=\frac{Z_c}{jtankl}\)
- 终端短路，\(Z_L=Z(0)=0\) ,\(Z_{in}(z=-l)=jZ_c{tankl}\)
三、传输功率与传输效率
1.传输功率
\[
\begin{align}
P(z)&=\frac{1}{2}Re[U(z)\cdot I^*(z)]\\
&=\frac{1}{2}Re[ \frac{|U^i|^2}{Z_c^*}-\frac{|U^i|^2}{Z_c^*}|\Gamma_u(z)|^2+\frac{|U^i|^2}{Z_c^*}(\Gamma_u(z)-\Gamma^*_u(z)) ]\\
\end{align}
\]
对于无损耗传输线，\(Z_c\) 是实数，则上述第三项等于0.
\[
P=\frac{1}{2}( \frac{|U^i|^2}{Z_c^*}-\frac{|U^i|^2}{Z_c^*}|\Gamma_u|^2)=P^i-P^r
\]
这说明，传输线上任一点功率等于入射波功率与反射波功率之差。而且 \(\frac{P^r}{P^i}=|\Gamma_u|^2\)
功率容量
便于计算功率，我们根据线上任意传输功率相同，取电压腹点/节点计算。
\[
P=\frac{1}{2}|U_{max}|\cdot|I_{min}|=\frac{1}{2}\frac{|U_{max}|^2}{Z_c \rho}
\]
可见，当传输线的耐压一定或者电流一定，驻波系数 \(\rho\) 越趋近于1，传输功率越大。
在这个基础上，定义传输线允许传递的最大功率为传输线的功率容量
\[
P_{br}=\frac{1}{2}\frac{|U_{max}|^2}{Z_c }
\]
2.传输效率
\[
\eta=\frac{P_L}{P_{in}}(\%)=\frac{1-|\Gamma_u(0)|^2}{e^{2k_il}-|\Gamma_u(0)|^2e^{-2k_il}}
\]
进一步地，利用指数函数和双曲函数之间的关系
\[
\eta=\frac{1}{cosh(2k_il)+\frac{1}{2}(\rho+\frac{1}{\rho})sinh(2k_il)}
\]
如果传输线损耗比较小，或者传输线长度比较小，\(k_il<<1\)，那么
\[
\eta=\frac{1}{1+(\rho+\frac{1}{\rho})k_il}\approx1-(\rho+\frac{1}{\rho})k_il
\]